3.5.1
G.C.D. (Greatest common divisor)
G.C.D. (Greatest common divisor)
And
L.C.M. (Least common multiple)
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
L.C.M. (Least common multiple)
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
1. ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ซึ่งหารเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดได้ลงตัว ( "กลุ่ม" หมายถึง เลขตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป) หรืออาจกล่าวได้ว่า ห.ร.ม. คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนเหล่านั้น
2. ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดหารมันลงตัว
เช่น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 กับ 45 เขียนให้เข้าใจอย่างมีจินตนาการได้ง่ายๆ 3 แบบ (Model) ดังต่อไปนี้
จากประสบการณ์ทำโจทย์ของพี่ พบว่า ถ้าเข้าใจ Concept อย่างมีจินตนาการใน g.c.d. และ l.c.m. ทั้ง 3 แบบนี้ จะสามารถตอบข้อสอบโจทย์ GMAT ระดับ Hard - Very Hard ได้อย่างรวดเร็วและถูกต้องอย่างแน่นอน
2. ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดหารมันลงตัว
เช่น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 กับ 45 เขียนให้เข้าใจอย่างมีจินตนาการได้ง่ายๆ 3 แบบ (Model) ดังต่อไปนี้
วิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มีอยู่ 2 วิธีใหญ่ๆ คือ
1. วิธีแยกตัวประกอบ
18 = 2 * 3 * 3
45 = 3 * 3 * 5
ตัวประกอบร่วม คือ 3 และ 3
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ (3 * 3) = 9
ส่วน ค.ร.น. คือ (3 * 3 * 2 * 5) = 90
หรือ คือ (ห.ร.ม. * 2 * 5) = 90
2. วิธีตั้งหาร
เนื่องจากวิธีตั้งหาร เป็นการแยกตัวประกอบอยู่แล้ว
18 = 2 * 3 * 3
45 = 3 * 3 * 5
ตัวประกอบร่วม คือ 3 และ 3
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ (3 * 3) = 9
ส่วน ค.ร.น. คือ (3 * 3 * 2 * 5) = 90
หรือ คือ (ห.ร.ม. * 2 * 5) = 90
2. วิธีตั้งหาร
เพราะฉะนั้น เราพบว่า 18 กับ 45 ทั้งสองตัวนี้ถูก 3 หารลงตัวได้เท่ากับ 6 กับ 15 และทั้งสองตัวนี้ก็ถูก 3 หารลงตัวอีกครั้งเช่นกัน ดังนั้นตัวหารที่มากที่สุด (ห.ร.ม.) จึงคือ 3 * 3 = 9
และ ค.ร.น. คือ ตัวเลขที่อยู่ด้านนอกทั้งหมดคูณกัน (เพราะวิธีตั้งหาร คือ การแยกตัวประกอบ) นั่นคือ 3 * 3 * 2 * 5 = 90 หรือกล่าวได้ว่า ค.ร.น. เท่ากับ ห.ร.ม. คูณด้วยตัวที่เหลือนั่นเอง ดังเช่น 9 * 2 * 5 = 90
ข้อสังเกต (สำคัญ)
และ ค.ร.น. คือ ตัวเลขที่อยู่ด้านนอกทั้งหมดคูณกัน (เพราะวิธีตั้งหาร คือ การแยกตัวประกอบ) นั่นคือ 3 * 3 * 2 * 5 = 90 หรือกล่าวได้ว่า ค.ร.น. เท่ากับ ห.ร.ม. คูณด้วยตัวที่เหลือนั่นเอง ดังเช่น 9 * 2 * 5 = 90
สรุป Concept ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ยกมา คือ 18 และ 45
(ห.ร.ม.) เราพบว่า 18 หารด้วย 9 (คือ ห.ร.ม.) ได้ลงตัว และ 45 หารด้วย 9 ได้ลงตัว
(ค.ร.น.) เราพบว่า 90 (คือ ค.ร.น.) หารด้วย 18 ได้ลงตัว และ 90 หารด้วย 45 ได้ลงตัว
ข้อสังเกต (สำคัญ)
1. สำหรับเลข 2 จำนวนใดๆ เราพบว่า หากนำห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. จะเท่ากับผลคูณของเลขสองจำนวนนั้นนั่นเอง (ห.ร.ม. คูณ ค.ร.น. มีค่าเท่ากับผลคูณของจำนวนทั้งสอง)
เช่น 18 * 45 = 9 * 90
a * b = gcd * lcm
เพราะ (2*3*3) * (3*3*5) = (3*3) * (3*3*2*5) <==> สังเกต เมื่อนำเลขแต่ละตัวมาแยกตัวประกอบ จะได้ผลลัพธ์เหมือนกัน คือ มีเลข 2 อยู่ 1 ตัว, เลข 3 อยู่ 4 ตัว และ เลข 5 อยู่ 1 ตัว
2. เรื่องเศษส่วน สำหรับการทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (มีค่าตัวเลขต่ำสุด) เราทำได้โดยนำ ห.ร.ม. ของทั้งเศษและส่วน มาตัดทอน (หาร) ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ เช่น 12/16 เราพบว่า ห.ร.ม. ของ 12 และ 16 คือ 4 ดังนั้นเศษส่วนอย่างต่ำของ 12/16 คือ 3/4
เช่น 18 * 45 = 9 * 90
a * b = gcd * lcm
เพราะ (2*3*3) * (3*3*5) = (3*3) * (3*3*2*5) <==> สังเกต เมื่อนำเลขแต่ละตัวมาแยกตัวประกอบ จะได้ผลลัพธ์เหมือนกัน คือ มีเลข 2 อยู่ 1 ตัว, เลข 3 อยู่ 4 ตัว และ เลข 5 อยู่ 1 ตัว
2. เรื่องเศษส่วน สำหรับการทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (มีค่าตัวเลขต่ำสุด) เราทำได้โดยนำ ห.ร.ม. ของทั้งเศษและส่วน มาตัดทอน (หาร) ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ เช่น 12/16 เราพบว่า ห.ร.ม. ของ 12 และ 16 คือ 4 ดังนั้นเศษส่วนอย่างต่ำของ 12/16 คือ 3/4
3. (ควรรู้) ห.ร.ม. ของจำนวนเฉพาะทุกตัว เท่ากับ 1 เสมอ เช่น ห.ร.ม. ของ 3, 5 และ 7 เท่ากับ 1 เท่านั้น ส่วน ค.ร.น. คือ 3 * 5 * 7 = 105
หนังสืออ้างอิง
1. หนังสือคณิตคิดสนุก เขียนโดย ธิดาสิริ ภัทรากาญจน์
2. เลขสนุก : สนุกกับตัวเลข เขียนโดย ศกุนตลา เทวี
ผู้เขียน : SmartMathsTutor (กิ๊ก) (Update 17/06/56)
1. หนังสือคณิตคิดสนุก เขียนโดย ธิดาสิริ ภัทรากาญจน์
2. เลขสนุก : สนุกกับตัวเลข เขียนโดย ศกุนตลา เทวี
ผู้เขียน : SmartMathsTutor (กิ๊ก) (Update 17/06/56)
-------------------------------------------
G.C.D. และ L.C.M. นั้น…..เข้าใจได้ง่ายๆ (GMAT อยู่ในส่วน Number property)
แต่พอเป็นโจทย์ GMAT ทำไม....ไม่ง่ายเลยสักนิด และคนส่วนใหญ่.....ทำกันไม่ได้เลย.....
ซึ่งโจทย์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ใน GMAT
เน้นวิธีคิดแบบ Concept using, Proof Pattern และ ความคิดรวบยอดในการแก้ปัญหา
แต่พอเป็นโจทย์ GMAT ทำไม....ไม่ง่ายเลยสักนิด และคนส่วนใหญ่.....ทำกันไม่ได้เลย.....
ซึ่งโจทย์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ใน GMAT
เน้นวิธีคิดแบบ Concept using, Proof Pattern และ ความคิดรวบยอดในการแก้ปัญหา
ถ้าเข้าใจ.....จริงๆ แม้ในโจทย์ระดับ Very Hard.....ก็ทำได้เสมอ
-------------------------------------------
No comments:
Post a Comment