เรียน GMAT




SmartMathsTutor กิ๊ก
          นักพัฒนาทักษะการคิดวิเคราะห์, I.Q., วิทยากรอิสระ, ติวเตอร์ รับบรรยาย ฝึกอบรม, ติว, สอนคณิตศาสตร์ผ่านโจทย์เชาวน์คณิต (GMAT, GRE), โจทย์คิดเลขเร็ว, โจทย์ปัญหาเชาวน์, โจทย์พัฒนา I.Q.,  เกมปริศนา หรือ โจทย์พัฒนาศักยภาพบุคลากรระดับผู้บริหารในองค์กรทุกประเภท เพื่อพัฒนาวิธีเรียนรู้ และ วิธีคิดวิเคราะห์ ให้ผู้เรียนมีองค์ความรู้ของตนเอง, มีตรรกะเชิงจินตนาการในการคิด, มี mind map ในการจดจำ, คิดวิเคราะห์ได้อย่างเป็นระบบ, มีความคิดรวบยอดในการแก้ปัญหา, เข้าใจปัญหาได้ตรงประเด็น และ แก้ปัญหาอย่างมีจินตนาการสร้างสรรค์นอกกรอบ เพราะ "จินตนาการสำคัญกว่าความรู้" และ "ความคิดสร้างสรรค์ เป็นพรสวรรค์ที่พัฒนาได้"

สอนให้เก่ง   เน้นเข้าใจ   ไม่ใช่ท่องจำ   เพื่อทำข้อสอบได้ 
Smart                       Fast                     Correct
ชาญฉลาด - ตีโจทย์เป็นภาพ    เร็ว - ไม่เกิน  30 วินาที    ถูกต้อง - เข้าใจตรงกัน
ไม่รับจ้างทำข้อสอบใดๆทั้งสิ้น
ครูกิ๊ก (SmartMathsTutor)
          รับติว GMAT, GRE, SAT ข้อสอบภาษาอังกฤษตามวันเวลาที่ผู้เรียนสะดวก  โดยผู้เรียนต้องตั้งใจเรียนรู้ด้วยตัวเอง     ครูกิ๊กเป็นเพียงติวเตอร์ที่จะแนะแนววิธีการดีๆ (Smart, Fast, Correct ดูด้านล่าง) ที่ช่วยให้ผู้เรียนทำโจทย์ได้ถูกต้องและเร็วขึ้นเท่านั้น  จำนวนชั่วโมงติวจึงขึ้นอยู่กับพื้นฐานของผู้เรียน   
ทดลองเรียน 1 ข้อ  เพื่อพิสูจน์
            ผู้เรียนสามารถนำโจทย์ที่สงสัยมาสอบถามครูกิ๊ก  เพื่อดูว่าวิธีที่สอนนั้นดีหรือไม่อย่างไร   เพราะทราบดีว่าผู้เรียนต้องการผลสำเร็จ  จึงไม่อยากให้ผู้เรียนผิดหวัง  ลงทุนแล้วต้องสอบได้คะแนนสูงที่สุด
          ติดต่อครูกิ๊กทางมือถือ  082-558-1100  หรือไลน์ (Line ID : SmartMathsTutor)





คำติ-ชม
(ดูภาพขยาย...คลิกรูป)

ติวGMAT


พี่เปิด course GMAT 90 ข้อ trick เด็ด สำหรับสอนน้องที่ต้องการสอบได้คะแนนสูง เคยสอบได้คะแนน 44/60 ขึ้นไป หรือ เป็นเด็กหัวดี ก็มาเรียนได้เลยครับ สอบถาม Line : SmartMathsTutor
สอน 6 ชั่วโมงเท่านั้น (เลือกสอนเฉพาะข้อ trick เด็ด, ข้อที่คนส่วนใหญ่ทำไม่ได้ ฯลฯ)

พี่ทำโจทย์ไปแล้ว เฉพาะในหนังสือ GMAT Official Guide หลายปีรวมกัน (ไม่รวมสำนักพิมพ์อื่น, โจทย์บนเว็บไซต์ และ ในแอพที่ซื้อนะครับ) ไม่นับข้อซ้ำ มากกว่า 1,300 ข้อครับ


กำลังสอน GMAT course 90 ข้อ trick เด็ด...ให้น้องสองคน เรียนพร้อมกัน ทั้งสองคนเคยสอบได้ 46/60 และ 44/60
เรียนสนุกมาก get ขึ้นเยอะ ได้เทคนิคไป...ทำได้เร็วขึ้นมาก
ในเวลา 1 ชั่วโมงสอนได้ 15 - 20 ข้อ (สอนเฉพาะข้อยากนะ)
ลักษณะโจทย์ที่มีปัญหา คือ
(1) Prove Pattern,
(2) จับประเด็นปัญหา,
(3) ขุดสมการ,
(4) Backward Thinking,
และ ....... (5) ข้อหลอกให้งง

สูตรดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest), GMAT, GRE

3.7.4

ความหมายของดอกเบี้ยทบต้น
การคำนวณ และสูตร

แต่ก่อนที่จะพูดถึงดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) เราลองมาทบทวนการคำนวณหาดอกเบี้ยธรรมดา (Simple interest) ซึ่งเป็นพื้นฐานในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นกันก่อน

สมมุติว่า ถ้าตอนต้นปีเราเอาเงินฝากธนาคารจำนวน 100 บาท โดยได้ดอกเบี้ยในอัตรา 10 % ต่อปี ทุกๆ ปีเราจะได้รับดอกเบี้ยปีละ 10 บาท  ถ้าหากเราถอนดอกเบี้ยนั้นไปจับจ่ายใช้สอยทุกครั้งที่ครบรอบ 1 ปี เราจะคงเหลือเงินต้นในบัญชี 100 บาทเท่าเดิม ซึ่งถ้าเราทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงสิ้นปีที่ 2  เราจะได้รับดอกเบี้ยรวมเท่ากับ 20 บาท

                             - สิ้นปีที่ 1 เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบี้ยรับ                Note:ได้ดอกเบี้ย  = 10 % * (100.00)
                                                            = 100.00 + 10 % * (100.00)                            
                                                            = 100.00 + 0.10 * (100.00)                            
                                                            = 100.00 + 10
                                                            = 110.00
บาท
                             หรือ          เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบี้ยรับ
                                                          
 = 100.00 + 0.10 * (100.00
)
   
                                                        = 100.00 * (1 + 0.10)
                      // ดึงตัวประกอบร่วม 100 ออก
                                                            = 100.00 * 1.10
                                                            = 110.00 บาท
                        ถอนดอกเบี้ย ณ.สิ้นปี        10  บาท
         
                                 เหลือเงิน   = 100.00 
บาท        

     
                              - สิ้นปีที่ 2 เงินรวม = 100.00 + 0.10 * (100.00)
                                                            = 100.00 * (1 + 0.10)
                                                            = 110.00 บาท
                       ถอนดอกเบี้ย ณ.สิ้นปี         10  บาท                                            
                                           เหลือเงิน   = 100.00  บาท
ดอกเบี้ยธรรมดา (Simple interest)
เพราะฉะนั้น
ดอกเบี้ยปีที่ 1 รวมกับดอกเบี้ยปีที่ 2    = 10 บาท + 10 บาท  =  20 บาท

จากวิธีคำนวณดังกล่าว เราสามารถสรุปเป็นสูตรได้ว่า
            สูตรดอกเบี้ยธรรมดา
                                   ดอกเบี้ยรับ = เงินต้น * อัตราดอกเบี้ย * เวลา
             สังเกต หน่วยในการคำนวณนะครับ
สูตรดอกเบี้ยธรรมดา

            






            แต่ถ้าสมมุติว่าทุกๆปี เรา ไม่ ถอนดอกเบี้ยออกมาใช้   แต่ยังคงฝากไว้เพื่อกินดอกเบี้ยในบัญชีเดิมต่อไป แบบนี้แหละ... ที่เขาเรียกกันว่า ดอกเบี้ยทบต้น เพราะดอกเบี้ยที่ได้มาจะถูกเอาไปทบกับเงินต้นเดิมทุกๆปี

            ที่มาของสูตรดอกเบี้ยทบต้น 
          วิธีอธิบายที่ทำให้ผู้เรียนเข้าใจสูตร และ ทำโจทย์ข้อสอบคณิตศาสตร์ได้นั้น  คือ  สอนให้ผู้เรียนรู้ที่มาของสูตร  ใช้แนวคิดเชิงตรรกะ  อธิบายเป็นลำดับให้เห็นภาพ   เพื่อจดจำได้อย่างมี  Mind Map  และประยุกต์แก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์ได้เหมือนเจ้าของทฤษฎี   ดังตัวอย่างข้างล่างนี้

            สมมุติว่า เราฝากเงินจำนวน 100 บาท ณ.ต้นปี โดยธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี  สิ้นปีที่ 2 เราจะมีเงินฝากรวมเท่าไร
ที่มาของสูตรดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest)

นั่นคือ ในสิ้นปีที่ 2 เราจะมีเงินฝากรวม  121.00  บาท

ดอกเบี้ยทบต้น

            หากเราต้องการทราบ   ว่าเราได้ดอกเบี้ยระหว่างปีของเงินฝากทั้งหมดกี่บาท  เราก็เพียงนำเงินฝากสิ้นงวด ลบ เงินฝากต้นงวด   จากตัวอย่างข้างต้น   เราได้ดอกเบี้ยระหว่างทั้งสองปี เท่ากับ  121.00 – 100.00 = 21.00 บาท  ซึ่งดอกเบี้ยเงินฝากที่ได้  จะมากกว่าการฝากเงินแบบดอกเบี้ยธรรมดาอยู่เท่ากับ 10 % ของเงินดอกเบี้ยรับปีก่อน  เพราะเรานำเงินดอกเบี้ยรับปีก่อนมาเป็นเงินฝากของปีปัจจุบันด้วย  ซึ่งจากตัวอย่างนี้ คือดอกเบี้ยทบต้นมากกว่าดอกเบี้ยธรรมดาอยู่  1.00 บาท  (มาจาก  21 - 20 = 1)  ซึ่งเงิน 1 บาทนี้ เรียกว่า ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย

และ เมื่อถึงสิ้นปีที่  5    
หากเราฝากเงินแบบได้ดอกเบี้ยธรรมดา (Simple interest) ฝากครบ 5 ปี  ดอกเบี้ย 10 % ต่อปี  เราจะได้ดอกเบี้ยเพียง  50  บาท  แต่หากเราฝากเงินแบบได้ดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest)  เราจะมียอดเงินในบัญชีเงินฝากเท่ากับ  161.051 บาท  หรือได้รับดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น (161.051  – 100.00)  =  61.051 บาท   ซึ่งมีวิธีคำนวณ ดังนี้



ตารางแสดง ตัวอย่างดอกเบี้ยทบต้นต่อปี
สิ้นปีที่
เงินรวม
ดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี
(เงินรวมปีนี้ เงินรวมปีก่อน)
อัตราดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี
(คิดตามหลัก Percentage Change)
0
100
-
-
1
110
(110 – 100) = 10
10 / 100 = 10%
2
121
(121 – 110) = 11
11 / 110 = 10%
3
133.1
(133.1 – 121) = 12.1
12.1 / 121 = 10%
4
146.41
(146.41 – 133.1) = 13.31
13.31 / 133.1 = 10%
5
161.051
(161.051 – 146.41) = 14.641
14.641 / 146.41 = 10%


          สังเกตไหมครับว่า  การเอาเงินฝากธนาคารที่ให้ดอกเบี้ยทบต้น  อัตราดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปีจะเท่ากันเสมอ (ในตัวอย่างนี้คือ 10 %)  และ  เงินดอกเบี้ยทบต้นที่เราได้เพิ่มขึ้นจากดอกเบี้ยธรรมดา  ซึ่งคำนวณจาก   61.051 – 50.00  = 11.051 บาท   เราเรียกเงิน 11.051 บาทที่เพิ่มขึ้นนี้  ว่า ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย (Interest on interest) นั่นเอง

สิ้นปีที่
ดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี
0
เงินรวมปีนี้ เงินรวมปีก่อน
ดอกเบี้ยปีก่อน * อัตราดอกเบี้ยที่ได้รับ (10 %) ซึ่งเรียกว่า  ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย
1
(110 – 100) = 10
10
2
(121 – 110) = 11
(10 * 1.10) = 11
3
(133.1 – 121) = 12.1
(11 * 1.10) = 12.1
4
(146.41 – 133.1) = 13.31
(12.1 * 1.10) = 13.31
5
(161.051 – 146.41) = 14.641
(13.31 * 1.10) = 14.641


ความเหมือนของดอกเบี้ยทบต้น กับ วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์
ในกรณีการหาเงินปลายงวดของการฝากเงินแบบดอกเบี้ยทบต้น   แท้จริงการหาเงินปลายงวดนั้น  เราสามารถใช้วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์ได้  
เช่น  ฝากเงิน 200 บาท ได้ดอกเบี้ยทบต้น 10 % ต่อปี  ถามว่าสิ้นปีที่ 2 จะมีเงินรวมเท่าไร

          แต่หากฝากเงินไว้หลายปี  เช่น 10 ปี  วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์คงสร้างความสับสนให้กับผู้ที่ใช้เครื่องคิดเลขกดหาคำตอบ  เพราะต้องเทียบบัญญัติไตรยางศ์หลายครั้ง และ ต้องกดเครื่องคิดเลขให้เท่ากับจำนวนปีที่ฝาก  ดังนั้นการหาดอกเบี้ยทบต้นด้วยวิธียกกำลังจึงเหมาะสมที่สุด
          เช่น ฝากเงิน 100 บาท เป็นเวลา  10  ปี  โดยธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้น 10 % ใน 3 ปีแรก และ 20 % ใน 7 ปีต่อมา 

วิธีคำนวณ

จากการคำนวณข้างต้น สามารถนิยามความหมายของดอกเบี้ยทบต้น ว่าคือ
            1. ดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) คือ การคำนวณดอกเบี้ย โดยคิดจากจำนวนเงินต้นที่สูงขึ้นเรื่อยๆ จากการนำดอกเบี้ยในแต่ละงวดเข้ารวมเป็นเงินต้นของงวดต่อๆไป ซึ่งจะทำให้ ดอกเบี้ยที่ได้รับในงวดต่อๆไปเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากการสะสมดอกเบี้ยงวดก่อนรวมอยู่ในเงินต้นนั่นเอง
            2. ในทางการเงินการธนาคาร ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ ดอกเบี้ยที่ได้รับจากการลงทุนโดยที่ดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละช่วงเวลา (เช่น 1 ปี) จะถูกนำไปลงทุนซ้ำในปีต่อไปโดยอัตโนมัติ
            3. พจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) คือ ดอกเบี้ยที่ค้างชำระ ซึ่งนำไปรวมกับเงินต้นเพื่อรวมคิดดอกเบี้ยต่อไป
            4. พจนานุกรม ไทย-ไทย อ.เปลื้อง ณ นคร ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ การนำเอาดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้นเพื่อคิดดอกเบี้ยต่อ

สรุปแล้ว คือ ไม่มีคำจำกัดความเพียงหนึ่งเดียวสำหรับคำว่าดอกเบี้ยทบต้น แต่อย่างไรก็ตามเราสามารถจะให้ความหมายของคำว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ เงินตอบแทนที่ได้สะสมไปรวมกับเงินต้นเพื่อรวมคิดดอกเบี้ยในครั้งต่อไป


บรรณานุกรม
เอกสารอ้างอิง
          1. นวพร เรืองสกุล. ออมก่อน รวยกว่า. พิมพ์ครั้งที่ 6. กรุงเทพมหานคร : อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2551
          2. นำชัย เตชะรัตนะวิโรจน์, ประพิณ ลลิตภัทร, และ หทัยชนก เตชะรัตนะวิโรจน์. อยากรวย ต้องรู้ : เคล็ด (ไม่) ลับสู่... อิสรภาพทางการเงิน เล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 4. กรุงเทพมหานคร :  อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2548.
          3. วรากรณ์ สามโกเศศ. รู้ก่อนรวยกว่า : เงินต่อเงิน. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพมหานคร : อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2551
ผู้เขียน : SmartMathsTutor (update 25/12/55)

File สำหรับ Download อยู่ ที่นี่

---------------------------------------------------------- 
ความรู้ เรื่อง บัญญัติไตรยางศ์ ยังมีต่ออีก ไม่ได้มีเพียงเท่านี้
เข้าไปอ่านต่อได้ที่นี่ (คลิก) 
----------------------------------------------------------