สูตรดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest), GMAT, GRE

3.7.4

ความหมายของดอกเบี้ยทบต้น

การคำนวณ และสูตร

แต่ก่อนที่จะพูดถึงดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) เราลองมาทบทวนการคำนวณหาดอกเบี้ยธรรมดา (Simple interest) ซึ่งเป็นพื้นฐานในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นกันก่อน

สมมุติว่า ถ้าตอนต้นปีเราเอาเงินฝากธนาคารจำนวน 100 บาท โดยได้ดอกเบี้ยในอัตรา 10 % ต่อปี ทุกๆ ปีเราจะได้รับดอกเบี้ยปีละ 10 บาท  ถ้าหากเราถอนดอกเบี้ยนั้นไปจับจ่ายใช้สอยทุกครั้งที่ครบรอบ 1 ปี เราจะคงเหลือเงินต้นในบัญชี 100 บาทเท่าเดิม ซึ่งถ้าเราทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงสิ้นปีที่ 2  เราจะได้รับดอกเบี้ยรวมเท่ากับ 20 บาท

                             - สิ้นปีที่ 1 เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบี้ยรับ                Note:ได้ดอกเบี้ย  = 10 % * (100.00)

                                                            = 100.00 + 10 % * (100.00)                            

                                                            = 100.00 + 0.10 * (100.00)                            
                                                            = 100.00 + 10
                                                            = 110.00 บาท

                             หรือ          เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบี้ยรับ
                                                            = 100.00 + 0.10 * (100.00)
                                                            = 100.00 * (1 + 0.10)                      // ดึงตัวประกอบร่วม 100 ออก
                                                            = 100.00 * 1.10

                                                            = 110.00 บาท

                        ถอนดอกเบี้ย ณ.สิ้นปี        10  บาท
                                           เหลือเงิน   = 100.00  บาท        
     

                              - สิ้นปีที่ 2 เงินรวม = 100.00 + 0.10 * (100.00)

                                                            = 100.00 * (1 + 0.10)

                                                            = 110.00 บาท

                       ถอนดอกเบี้ย ณ.สิ้นปี         10  บาท                                            
                                           เหลือเงิน   = 100.00  บาท

เพราะฉะนั้น

ดอกเบี้ยปีที่ 1 รวมกับดอกเบี้ยปีที่ 2    = 10 บาท + 10 บาท  =  20 บาท

จากวิธีคำนวณดังกล่าว เราสามารถสรุปเป็นสูตรได้ว่า

            สูตรดอกเบี้ยธรรมดา

                                   ดอกเบี้ยรับ = เงินต้น * อัตราดอกเบี้ย * เวลา
             สังเกต หน่วยในการคำนวณนะครับ

            

            แต่ถ้าสมมุติว่าทุกๆปี เรา “ไม่” ถอนดอกเบี้ยออกมาใช้   แต่ยังคงฝากไว้เพื่อกินดอกเบี้ยในบัญชีเดิมต่อไป แบบนี้แหละ... ที่เขาเรียกกันว่า “ดอกเบี้ยทบต้น” เพราะดอกเบี้ยที่ได้มาจะถูกเอาไปทบกับเงินต้นเดิมทุกๆปี

            ที่มาของสูตรดอกเบี้ยทบต้น 

          วิธีอธิบายที่ทำให้ผู้เรียนเข้าใจสูตร และ ทำโจทย์ข้อสอบคณิตศาสตร์ได้นั้น  คือ  สอนให้ผู้เรียนรู้ที่มาของสูตร  ใช้แนวคิดเชิงตรรกะ  อธิบายเป็นลำดับให้เห็นภาพ   เพื่อจดจำได้อย่างมี  Mind Map  และประยุกต์แก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์ได้เหมือนเจ้าของทฤษฎี   ดังตัวอย่างข้างล่างนี้

            สมมุติว่า เราฝากเงินจำนวน 100 บาท ณ.ต้นปี โดยธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี  สิ้นปีที่ 2 เราจะมีเงินฝากรวมเท่าไร

นั่นคือ ในสิ้นปีที่ 2 เราจะมีเงินฝากรวม  121.00  บาท

            หากเราต้องการทราบ   ว่าเราได้ดอกเบี้ยระหว่างปีของเงินฝากทั้งหมดกี่บาท  เราก็เพียงนำเงินฝากสิ้นงวด ลบ เงินฝากต้นงวด   จากตัวอย่างข้างต้น   เราได้ดอกเบี้ยระหว่างทั้งสองปี เท่ากับ  121.00 – 100.00 = 21.00 บาท  ซึ่งดอกเบี้ยเงินฝากที่ได้  จะมากกว่าการฝากเงินแบบดอกเบี้ยธรรมดาอยู่เท่ากับ 10 % ของเงินดอกเบี้ยรับปีก่อน  เพราะเรานำเงินดอกเบี้ยรับปีก่อนมาเป็นเงินฝากของปีปัจจุบันด้วย  ซึ่งจากตัวอย่างนี้ คือดอกเบี้ยทบต้นมากกว่าดอกเบี้ยธรรมดาอยู่  1.00 บาท  (มาจาก  21 - 20 = 1)  ซึ่งเงิน 1 บาทนี้ เรียกว่า “ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย”

และ เมื่อถึงสิ้นปีที่  5    

หากเราฝากเงินแบบได้ดอกเบี้ยธรรมดา (Simple interest) ฝากครบ 5 ปี  ดอกเบี้ย 10 % ต่อปี  เราจะได้ดอกเบี้ยเพียง  50  บาท  แต่หากเราฝากเงินแบบได้ดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest)  เราจะมียอดเงินในบัญชีเงินฝากเท่ากับ  161.051 บาท  หรือได้รับดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น (161.051  – 100.00)  =  61.051 บาท   ซึ่งมีวิธีคำนวณ ดังนี้

ตารางแสดง ตัวอย่างดอกเบี้ยทบต้นต่อปี

สิ้นปีที่	เงินรวม	ดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี (เงินรวมปีนี้ – เงินรวมปีก่อน)	อัตราดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี (คิดตามหลัก Percentage Change)
0	100	-	-
1	110	(110 – 100) = 10	10 / 100 = 10%
2	121	(121 – 110) = 11	11 / 110 = 10%
3	133.1	(133.1 – 121) = 12.1	12.1 / 121 = 10%
4	146.41	(146.41 – 133.1) = 13.31	13.31 / 133.1 = 10%
5	161.051	(161.051 – 146.41) = 14.641	14.641 / 146.41 = 10%

          สังเกตไหมครับว่า  การเอาเงินฝากธนาคารที่ให้ดอกเบี้ยทบต้น  อัตราดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปีจะเท่ากันเสมอ (ในตัวอย่างนี้คือ 10 %)  และ  เงินดอกเบี้ยทบต้นที่เราได้เพิ่มขึ้นจากดอกเบี้ยธรรมดา  ซึ่งคำนวณจาก   61.051 – 50.00  = 11.051 บาท   เราเรียกเงิน 11.051 บาทที่เพิ่มขึ้นนี้  ว่า “ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย” (Interest on interest) นั่นเอง

สิ้นปีที่	ดอกเบี้ยที่ได้ระหว่างปี
0	เงินรวมปีนี้ – เงินรวมปีก่อน	ดอกเบี้ยปีก่อน * อัตราดอกเบี้ยที่ได้รับ (10 %) ซึ่งเรียกว่า  ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย
1	(110 – 100) = 10	10
2	(121 – 110) = 11	(10 * 1.10) = 11
3	(133.1 – 121) = 12.1	(11 * 1.10) = 12.1
4	(146.41 – 133.1) = 13.31	(12.1 * 1.10) = 13.31
5	(161.051 – 146.41) = 14.641	(13.31 * 1.10) = 14.641

ความเหมือนของดอกเบี้ยทบต้น กับ วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์

ในกรณีการหาเงินปลายงวดของการฝากเงินแบบดอกเบี้ยทบต้น   แท้จริงการหาเงินปลายงวดนั้น  เราสามารถใช้วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์ได้  
เช่น  ฝากเงิน 200 บาท ได้ดอกเบี้ยทบต้น 10 % ต่อปี  ถามว่าสิ้นปีที่ 2 จะมีเงินรวมเท่าไร

          แต่หากฝากเงินไว้หลายปี  เช่น 10 ปี  วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์คงสร้างความสับสนให้กับผู้ที่ใช้เครื่องคิดเลขกดหาคำตอบ  เพราะต้องเทียบบัญญัติไตรยางศ์หลายครั้ง และ ต้องกดเครื่องคิดเลขให้เท่ากับจำนวนปีที่ฝาก  ดังนั้นการหาดอกเบี้ยทบต้นด้วยวิธียกกำลังจึงเหมาะสมที่สุด

          เช่น ฝากเงิน 100 บาท เป็นเวลา  10  ปี  โดยธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้น 10 % ใน 3 ปีแรก และ 20 % ใน 7 ปีต่อมา 

วิธีคำนวณ

จากการคำนวณข้างต้น สามารถนิยามความหมายของดอกเบี้ยทบต้น ว่าคือ

            1. ดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) คือ การคำนวณดอกเบี้ย โดยคิดจากจำนวนเงินต้นที่สูงขึ้นเรื่อยๆ จากการนำดอกเบี้ยในแต่ละงวดเข้ารวมเป็นเงินต้นของงวดต่อๆไป ซึ่งจะทำให้ ดอกเบี้ยที่ได้รับในงวดต่อๆไปเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากการสะสมดอกเบี้ยงวดก่อนรวมอยู่ในเงินต้นนั่นเอง

            2. ในทางการเงินการธนาคาร ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ ดอกเบี้ยที่ได้รับจากการลงทุนโดยที่ดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละช่วงเวลา (เช่น 1 ปี) จะถูกนำไปลงทุนซ้ำในปีต่อไปโดยอัตโนมัติ

            3. พจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) คือ ดอกเบี้ยที่ค้างชำระ ซึ่งนำไปรวมกับเงินต้นเพื่อรวมคิดดอกเบี้ยต่อไป

            4. พจนานุกรม ไทย-ไทย อ.เปลื้อง ณ นคร ได้ระบุว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ การนำเอาดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้นเพื่อคิดดอกเบี้ยต่อ

สรุปแล้ว คือ ไม่มีคำจำกัดความเพียงหนึ่งเดียวสำหรับคำว่าดอกเบี้ยทบต้น แต่อย่างไรก็ตามเราสามารถจะให้ความหมายของคำว่า ดอกเบี้ยทบต้น คือ เงินตอบแทนที่ได้สะสมไปรวมกับเงินต้นเพื่อรวมคิดดอกเบี้ยในครั้งต่อไป

บรรณานุกรม

เอกสารอ้างอิง

          1. นวพร เรืองสกุล. ออมก่อน รวยกว่า. พิมพ์ครั้งที่ 6. กรุงเทพมหานคร : อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2551

          2. นำชัย เตชะรัตนะวิโรจน์, ประพิณ ลลิตภัทร, และ หทัยชนก เตชะรัตนะวิโรจน์. อยากรวย ต้องรู้ : เคล็ด (ไม่) ลับสู่... อิสรภาพทางการเงิน เล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 4. กรุงเทพมหานคร :  อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2548.

          3. วรากรณ์ สามโกเศศ. รู้ก่อนรวยกว่า : เงินต่อเงิน. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพมหานคร : อมรินทร์พริ้นติ้ง แอนด์พับลิชชิ่ง, 2551
ผู้เขียน : SmartMathsTutor (update 25/12/55)

File สำหรับ Download อยู่ ที่นี่

---------------------------------------------------------- 
ความรู้ เรื่อง บัญญัติไตรยางศ์ ยังมีต่ออีก ไม่ได้มีเพียงเท่านี้
เข้าไปอ่านต่อได้ที่นี่ (คลิก) 
----------------------------------------------------------